MA-660: Teoría de Galois

Abstract

Este documento es un texto introductoria para el estudio de La teoría de Galois, la cual es el resultado de los estudios de Evariste Galois (circa 1830) sobre la solubilidad de las ecuaciones algebraicas por radicales: un concepto clave es el grupo de permutaciones de las raíces de la ecuación. Este grupo induce simetrías de ciertos "extensiones de cuerpos": hoy en día, se trata de establecer una correspondencia de Galois entre subgrupos del grupo y cuerpos intermedios de la extensión. Este curso abarca y unifica varios temas del álgebra clásica y moderna. Temática: 1. Polinomios y resolución de ecuaciones. 2. Extensiones de cuerpos. 3. Grupos de Galois. 4. Cuerpos finitos. 5. Extensiones de Hopf-Galois. El curso empieza con un estudio sobre las propiedades de los polinomios con coeficientes enteros (o racionales). Luego se consideran cuerpos más grandes, al extender Q mediante la adjunción de números algebraicos, hasta llegar al concepto de una extensión normal de un cuerpo. En seguida se introducen los grupos de automorfismos de un cuerpo numérico y su relación con la resolución de las ecuaciones. Después se pasa al caso importante de un cuerpo con un número finito de elementos, clasificando sus extensiones con la ayuda de la teoría de grupos. Finalmente, se considera una variante moderna de las extensiones galoisianas, en donde el grupo de automorfismos se amplía a su “álgebra de grupo”, cuya estructura permite dar una nueva mirada a las simetrías de cuerpos numéricos.