Parte prima a p del esquema fundamental en grupos sobre anillos de valuación discreta

Abstract

Si X es un esquema propio, suave y conexo sobre Spec(R), para R un anillo de valuación discreta completo, dotado de una sección x: Spec(R) -> X, es posible construir los esquemas fundamentales en grupos pi_1(X,x) y pi_1(X_K,x_K), donde X_K denota la fibra genérica de X sobre K, el cuerpo de fracciones de R. Estos objetos clasifican los torsores sobre X y X_K respectivamente. Un problema histórico es determinar si pi_1(X,x) tiene por fibra genérica a pi_1(X_K,x_K). Hasta el momento esto es desconocido en el caso general. Bajo la motivación del tratamiento dado por A. Grothendieck para el grupo fundamental étale, si p es la característica del cuerpo residual de R, en esta tesis demostramos que la fibra genérica de la fibra genérica de la parte prima a p de pi_1(X,x) coincide con la parte prima a p de pi_1(X_K,x_K). Demostramos que la existencia de este isomorfismo entre partes primas a p es equivalente a resolver el problema de extender a todo G_K-torsor, sobre X_K, para G un esquema afín en grupos finito sobre Spec(R) de orden primo relativo a p. Hacemos fuerte uso de la teoría de retículos tannakianos.